4535. В равнобочной трапеции ABCD
угол при основании AD
равен \alpha
, боковая сторона AB
равна b
. Окружность, касающаяся сторон AB
и AD
и проходящая через вершину C
, пересекает стороны BC
и CD
в точках M
и N
соответственно. Найдите BM
, если \frac{CN}{ND}=3
.
Ответ. \frac{b}{8(1-\cos\alpha)}
.
Решение. Пусть окружность касается сторон AD
и AB
трапеции ABCD
в точках P
и Q
соответственно. По теореме о касательной и секущей
DP^{2}=DN\cdot DC=\frac{1}{4}b\cdot b=\frac{1}{4}b^{2},~DP=\frac{b}{2}.
Если продолжение радиуса OP
пересекает меньшее основание BC
трапеции в точке T
, то T
— середина MC
(диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Пусть K
, L
и E
— проекции точек соответственно C
, M
и B
на основание AD
. Тогда
LP=PK=PD-KD=\frac{b}{2}-b\cos\alpha.
Обозначим EL=BM=x
. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки
AQ=AP=AE+EL+LP=b\cos\alpha+x+\left(\frac{b}{2}-b\cos\alpha\right)=x+\frac{b}{2}.
По теореме о касательной и секущей
BQ^{2}=BM\cdot BC=EL\cdot EK=EL(EL+LK)=x(x+2LP)=x(x+b-2b\cos\alpha),
а так как AB=AQ+QB
, то
b=x+\frac{b}{2}+\sqrt{x(x+b-2b\cos\alpha)}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{b}{8(1-\cos\alpha)}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 2, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-2-4, с. 160