4536. Из вершины A
треугольника ABC
проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую BC
в точках D
и E
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADE
, если BC=a
и \frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}
.
Ответ. \frac{6}{5}a
.
Решение. По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}
.
Пусть точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
. Положим BD=2t
, DC=3t
, BE=y
. Тогда 5t=BC=a
, t=\frac{a}{5}
,
\frac{y}{y+5t}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3},
откуда находим, что y=10t
. Следовательно,
DE=BE+BD=y+2t=10t+2t=12t,
а так как угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, то DE
— гипотенуза прямоугольного треугольника ADE
, значит, радиус окружности, описанной около этого треугольника равен
\frac{1}{2}DE=6t=6\cdot\frac{a}{5}=\frac{6}{5}a.
Аналогично для случая, когда точка E
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
.