4540. Две окружности радиусов R
и r
(R\gt r
) имеют внутреннее касание в точке A
. Через точку B
, лежащую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке C
. Найдите AB
, если BC=a
.
Ответ. a\sqrt{\frac{R}{R-r}}
.
Решение. Пусть O
и Q
— центры большей и меньшей окружностей соответственно. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, точки O
, Q
и A
лежат на одной прямой. Из прямоугольного треугольника BCQ
находим, что
BQ^{2}=CQ^{2}+BC^{2}=r^{2}+a^{2}.
Применяя теорему косинусов к треугольнику OBQ
и к равнобедренному треугольнику AOB
получим, что
\cos\angle BOQ=\frac{OQ^{2}+OB^{2}-BQ^{2}}{2OQ\cdot OB}=\frac{(R-r)^{2}+R^{2}-r^{2}-a^{2}}{2R(R-r)}=\frac{2R^{2}-2Rr-a^{2}}{2R(R-r)},
AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos\angle BOQ=2R^{2}-2R^{2}\cdot\frac{2R^{2}-2Rr-a^{2}}{2R(R-r)}=\frac{a^{2}R}{R-r}.
Следовательно, AB=a\sqrt{\frac{R}{R-r}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 9, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-9-2, с. 164