4542. Две окружности радиусов R
и r
(R\gt r
) имеют внешнее касание в точке A
. Через точку B
, взятую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке C
. Найдите BC
, если AB=a
.
Ответ. a\sqrt{1+\frac{r}{R}}
.
Решение. Пусть O
и Q
— центры большей и меньшей окружностей соответственно. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, точки O
, Q
и A
лежат на одной прямой. Применяя теорему косинусов к равнобедренному треугольнику AOB
и к треугольнику OBQ
получим, что
\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{R^{2}+R^{2}-a^{2}}{2R^{2}}=\frac{2R^{2}-a^{2}}{2R^{2}},
BQ^{2}=OB^{2}+OQ^{2}-2OB\cdot OQ\cos\angle BOQ=
=R^{2}+(R+r)^{2}-2R(R+r)\cdot\frac{2R^{2}-a^{2}}{2R^{2}}=\frac{(R+r)a^{2}}{R}+r^{2}.
По теореме Пифагора
BC^{2}=BQ^{2}-QC^{2}=\frac{(R+r)a^{2}}{R}+r^{2}-r^{2}=\frac{(R+r)a^{2}}{R}.
Следовательно, BC=a\sqrt{\frac{R+r}{R}}=a\sqrt{1+\frac{r}{R}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 11, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-11-2, с. 166