4544. В равностороннем треугольнике ABC
сторона равна a
. На стороне BC
лежит точка D
, а на AB
— точка E
так, что BD=\frac{1}{3}a
, AE=DE
. Найдите CE
.
Ответ. \frac{13}{15}a
.
Решение. Обозначим AE=DE=x
. Тогда BE=a-x
. По теореме косинусов
ED^{2}=BE^{2}+BD^{2}-2BE\cdot BD\cos60^{\circ},
или
x^{2}=(a-x)^{2}+\frac{1}{9}a^{2}-\frac{1}{3}a(a-x),
откуда AE=x=\frac{7}{15}a
.
Из треугольника ACE
по теореме косинусов находим, что
CE^{2}=AE^{2}+AC^{2}-2AE\cdot AC\cos60^{\circ}=\frac{49}{225}a^{2}+a^{2}-\frac{7}{15}a^{2}=\frac{169}{225}a^{2}.
Следовательно, CE=\frac{13}{15}a
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1965, билет 1, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 65-1-2, с. 107