4546. Острый угол прямоугольного треугольника равен \alpha
, а радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений двух катетов, равен R
. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
Ответ. \frac{R(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{\sin\alpha\cos\alpha}
.
Решение. Пусть данная окружность с центром O
касается продолжения катета AC
прямоугольного треугольника ABC
в точке M
, а острый угол BAC
равен \alpha
. Обозначим гипотенузу AB
через x
. Тогда
AC=AB\cos\alpha=x\cos\alpha,~CM=OM=R,~AM=CM-AC=R-x\cos\alpha.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
\angle OAM=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника OAM
находим, что
AM=OM\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=R\tg\frac{\alpha}{2}=R\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.
Из уравнения R-x\cos\alpha=R\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}
находим, что AB=x=\frac{R(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{\sin\alpha\cos\alpha}
.