4551. Найдите площадь параллелограмма, если его большая диагональ равна 5, а высоты равны 2 и 3.
Ответ. \frac{6}{5}(3\sqrt{21}-8)
.
Решение. Докажем сначала, что площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S=\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\alpha}
, где h_{a}
и h_{b}
— высоты параллелограмма, опущенные на соседние стороны, равные a
и b
соответственно, а \alpha
— угол между этими сторонами.
Пусть ABCD
— параллелограмм, BC=a
, AB=b
, \angle ABC=\alpha
, AP=h_{a}
и AQ=h_{b}
— высоты, опущенные на стороны BC
и CD
соответственно. Тогда
S_{ABCD}=AB\cdot BC\sin\alpha=\frac{AP}{\sin\alpha}\cdot\frac{AQ}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{AQ}{\sin\alpha}=\frac{AP\cdot AQ}{\sin\alpha}=\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\alpha},
что и требовалось доказать.
Пусть угол при вершине A
параллелограмма ABCD
— тупой. Тогда BD
— наибольшая диагональ параллелограмма, BD=5
. Опустим перпендикуляры DH
и DM
из вершины D
на прямые AB
и BC
. Обозначим \angle ABC=\alpha
, \angle ABD=\beta
, \angle CBD=\gamma
. Из прямоугольных треугольников BDH
и BDM
находим, что
\sin\beta=\frac{DH}{BD}=\frac{3}{5},~\sin\gamma=\frac{DM}{BD}=\frac{2}{5}.
Тогда
\cos\beta=\frac{4}{5},~\cos\gamma=\frac{\sqrt{21}}{5},
\sin\alpha=\sin(\beta+\gamma)=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta=\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{21}}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{21}+8}{25}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{DH\cdot DM}{\sin\alpha}=\frac{3\cdot2}{\frac{3\sqrt{21}+8}{25}}=\frac{6}{5}(3\sqrt{21}-8).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1965, билет 9, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 65-9-2, с. 111