4552. В равнобедренном треугольнике с углом 120^{\circ}
радиус вписанной окружности равен R
. Внутри треугольника лежат два равных касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найдите радиусы этих кругов (найдите все решения).
Ответ. x_{1}=\frac{1}{3}R
, x_{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}R
.
Решение. Пусть окружность радиуса R
с центром O
касается боковых сторон AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
в точках P
и Q
соответственно, а основания BC
— в точке M
. Если равные касающиеся круги радиуса x
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются этой окружности изнутри (рис. 1) и при этом первый касается боковой стороны AB
, а второй — боковой стороны AC
, то их точки касания с этими сторонами совпадают с P
и Q
соответственно.
Точка M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника, поэтому AO_{1}
и AO_{2}
— биссектрисы углов BAM
и CAM
, значит,
~\angle O_{1}AO_{2}=60^{\circ},~\angle O_{1}OO_{2}=\angle QOP=180^{\circ}-\angle QAP=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ},
O_{1}O_{2}=2x,~OO_{1}=OO_{2}=R-x.
Треугольник OO_{1}O_{2}
— равносторонний, поэтому 2x=R-x
, откуда x=\frac{1}{3}R
.
Пусть теперь равные касающиеся круги радиуса x
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются вписанной окружности треугольника ABC
внешним образом и при этом первый из них касается боковой стороны AB
точке E
, а второй — боковой стороны AC
в точке F
(рис. 2). В треугольнике AOO_{1}
известно, что
AO=\frac{OP}{\sin60^{\circ}}=\frac{2R}{\sqrt{3}},~AO_{1}=\frac{O_{1}E}{\sin\angle O_{1}AE}=\frac{O_{1}E}{\sin30^{\circ}}=2x,~OO_{1}=R+x,~\angle O_{1}AO=30^{\circ}.
По теореме косинусов
OO_{1}^{2}=AO_{1}^{2}+AO^{2}-2AO_{1}\cdot AO\cos30^{\circ},
или
(R+x)^{2}=4x^{2}+\frac{4R^{2}}{3}-2\cdot2x\cdot\frac{2R}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}~\Leftrightarrow~9x^{2}-18Rx+R^{2}=0~\Leftrightarrow~x=\left(1\pm\frac{2}{3}\sqrt{2}\right)R.
Условию задачи удовлетворяет только меньший корень уравнения, т. е. x=\left(1-\frac{2}{3}\sqrt{2}\right)R
.