4554. В трапеции основания равны 84 и 42, а боковые стороны — 39 и 45. Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая. Найдите площади получившихся трапеций.
Ответ. 588 и 1680.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку O
пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
параллельно основаниям AD
и BC
, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, причём AD=84
, BC=42
. AB=39
и CD=45
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
до пересечения с основанием AD
в точке K
. В треугольнике CKD
известно, что
CK=AB=39,~KD=AD-AK=AD-BC=84-42=42,~CD=45.
По формуле Герона
S_{\triangle CKD}=\sqrt{63(63-39)(63-42)(63-45)}=\sqrt{63\cdot24\cdot21\cdot18}=756.
Пусть h
— высота трапеции ABCD
. Тогда h
— высота треугольника CKD
, проведённая из вершины C
, поэтому
h=\frac{2S_{\triangle ABC}}{KD}=\frac{2\cdot756}{42}=36.
Треугольники BOC
и DOA
подобны с коэффициентом \frac{BC}{AD}=\frac{42}{84}=\frac{1}{2}
, а треугольник AOM
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}
, поэтому
MO=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot42=28.
Аналогично находим, что ON=28
, значит, MN=56
.
Из подобия треугольников BOC
и DOA
также следует, что высота первого из них, проведённая из вершины O
, равна \frac{1}{3}h
, а соответствующая высота второго — \frac{2}{3}h
, следовательно,
S_{MBCN}=\frac{1}{2}(MN+BC)\cdot\frac{1}{3}h=\frac{1}{2}(56+42)\cdot\frac{1}{3}\cdot36=588,
S_{AMND}=\frac{1}{2}(MN+AD)\cdot\frac{2}{3}h=\frac{1}{2}(56+84)\cdot\frac{2}{3}\cdot36=1680.