4555. В прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза AB=c
, \angle A=\alpha
. Найдите радиус окружности, касающейся катета AC
, гипотенузы AB
и окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{c(\ctg\frac{\alpha}{2}-1)}{\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть окружность радиуса x
с центром в точке O
касается гипотенузы AB
в точке N
, а описанной окружности треугольника ABC
— в точке K
. Середина M
гипотенузы — центр описанной окружности треугольника ABC
, радиус этой окружности равен \frac{c}{2}
. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OM=MK-OK=\frac{c}{2}-x
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому \angle OAN=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольного треугольника OAN
находим, что
AO=\frac{ON}{\sin\angle OAN}=\frac{x}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
По теореме косинусов
OM^{2}=AO^{2}+AM^{2}-2AO\cdot AM\cos\angle OAM,
или
\left(\frac{c}{2}-x\right)^{2}=\frac{x^{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}+\frac{c^{2}}{4}-2\cdot\frac{x}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{c}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2},
откуда находим, что x=\frac{c(\ctg\frac{\alpha}{2}-1)}{\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1967, билет 2, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 67-2-2, с. 121