4556. Пусть c
— длина гипотенузы, \frac{c}{\sqrt{3}}
— длина биссектрисы одного из острых углов прямоугольного треугольника. Найдите катеты.
Ответ. \frac{c}{2}
, \frac{c\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть AK
— биссектриса прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой AB=c
, проведённая из вершины A
острого угла, AK=\frac{c}{\sqrt{3}}
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
AC=c\cos\alpha,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=\frac{1}{2}c\cdot c\cos\alpha\cdot\sin\alpha=c^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha.
С другой стороны
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABK}+S_{\triangle ACK}=\frac{1}{2}AB\cdot AK\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}AC\cdot AK\sin\frac{\alpha}{2}=
=\frac{1}{2}AK\sin\frac{\alpha}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{\sqrt{3}}\sin\frac{\alpha}{2}(c+c\cos\alpha)=\frac{c^{2}}{\sqrt{3}}\sin\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2},
значит,
c^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha=\frac{c^{2}}{\sqrt{3}}\sin\frac{\alpha}{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2},~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos\frac{\alpha}{2},~\cos^{2}\alpha=\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\alpha}{2},
3\cos^{2}\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos\alpha),~6\cos^{2}\alpha-\cos\alpha-1=0,
откуда находим, что \cos\alpha=\frac{1}{2}
, \alpha=60^{\circ}
. Следовательно,
AC=\frac{c}{2},~BC=\frac{c\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1967, билет 3, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 67-3-2, с. 121