4558. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AM
и CN
. Известно, что AC=6
, AN=2
, CM=3
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{\sqrt{145}}{5}
.
Решение. Обозначим BN=x
, BM=y
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{BN}{AN}=\frac{CB}{CA}
и \frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}
, или \frac{x}{2}=\frac{3+y}{6}
и \frac{y}{3}=\frac{x+2}{6}
, откуда находим, что x=\frac{8}{5}
и y=\frac{9}{5}
. Тогда
AB=2+\frac{8}{5}=\frac{18}{5},~BC=3+\frac{9}{5}=\frac{24}{5},
значит, AB:BC:AC=\frac{18}{5}:\frac{24}{5}:6=3:4:5
, следовательно, треугольник ABC
подобен прямоугольному треугольнику со сторонами 3, 4 и 5, поэтому \angle ABC=90^{\circ}
. По теореме Пифагора
MN^{2}=BM^{2}+BN^{2}=\frac{64}{25}+\frac{81}{25}=\frac{145}{25}.
Следовательно, MN=\frac{\sqrt{145}}{5}
.