4561. В равнобедренной трапеции ABCD
основания AD
и BC
связаны равенством AD=(1+\sqrt{15})BC
. Построена окружность с центром в точке C
радиуса \frac{2}{3}BC
, высекающая на основании AD
хорду EF
длины \frac{\sqrt{7}}{3}BC
. В каком отношении окружность делит сторону CD
?
Ответ. 2:1
.
Решение. Первый способ. Положим BC=a
. Тогда AD=(1+\sqrt{15})a
, радиус окружности равен \frac{2}{3}a
. Пусть окружность с центром C
пересекает боковую сторону CD
трапеции в точке K
, а M
— середина хорды EF
(F
между M
и D
). Поскольку CM
— высота равнобедренной трапеции ABCD
,
DM=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}((1+\sqrt{15})a-a)=\frac{a\sqrt{15}}{2},
EM=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{7}}{6}a,~CM^{2}=CE^{2}-EM^{2}=\frac{4}{9}a^{2}-\frac{7}{36}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2},
CD=\sqrt{CM^{2}+DM^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}a^{2}+\frac{15}{4}a^{2}}=2a.
Следовательно,
\frac{DK}{CK}=\frac{CD-CK}{CK}=\frac{2a-\frac{2}{3}a}{\frac{2}{3}a}=2.
Второй способ. Положим BC=a
. Тогда AD=(1+\sqrt{15})a
, радиус окружности равен \frac{2}{3}a
. Пусть окружность с центром C
пересекает боковую сторону CD
трапеции в точке K
, KN
— диаметр окружности, а M
— середина хорды EF
(F
между M
и D
). Поскольку CM
— высота равнобедренной трапеции ABCD
,
DM=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}((1+\sqrt{15})a-a)=\frac{a\sqrt{15}}{2}.
Обозначим DK=x
. Из точки D
проведены к окружности секущие DKN
и DFE
, поэтому
DK\cdot DN=DF\cdot DE=(DM-MF)(DM+ME)=(DM-MF)(DM+MF)=DM^{2}-MF^{2},
или
x\left(x+\frac{4}{3}a\right)=\frac{15a^{2}}{4}-\frac{7a^{2}}{36},~x^{2}+\frac{4}{3}ax-\frac{32}{9}a^{2}=0,
откуда находим, что x=\frac{4}{3}a
. Тогда
\frac{DK}{CK}=\frac{\frac{4}{3}a}{\frac{2}{3}a}=2.