4563. Основания равнобочной трапеции относятся как 3:2
. На большем основании как на диаметре построена окружность, высекающая на меньшем основании отрезок, равный половине этого основания. В каком отношении окружность делит боковые стороны трапеции?
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть окружность с центром O
, построенная на большем основании AD
равнобедренной трапеции ABCD
как на диаметре, высекает на меньшем основании BC
отрезок MN
(M
между N
и C
). Положим MC=a
, тогда BN=a
, MN=2a
, BC=4a
, AD=6a
, т. е. радиус окружности равен 3a
.
Если H
— проекция вершины C
трапеции на большее основание AD
, а P
— проекция точки O
на основание BC
, то
HD=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(6a-4a)=a,PM=\frac{1}{2}MN=a,~CH=OP.
Прямоугольные треугольники CHD
и OPM
равны по двум катетам, поэтому CD=OM=3a
.
Пусть окружность пересекает боковую сторону CD
трапеции в точке K
, отличной от C
. Обозначим CK=x
. Поскольку CKD
и CMN
— секущие, проведённые к окружности из одной точки,
CK\cdot CD=CM\cdot CN,~x\cdot3a=a\cdot3a,
откуда x=a
. Тогда
KD=CD-CK=3a-a=2a.
Следовательно, \frac{CK}{KD}=\frac{1}{2}
. Аналогично для боковой стороны AB
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1967, билет 11, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 67-11-2, с. 124