4564. В углы B
и C
треугольника ABC
вписаны две окружности радиусов 2 и 3, касающиеся биссектрисы угла A
треугольника. Найдите эту биссектрису, если расстояние между точками, в которых окружности касаются BC
, равно 7.
Ответ. 16.
Решение. Пусть окружность радиуса 2 с центром O_{1}
касается биссектрисы AD
и стороны BC
треугольника ABC
в точках M
и K
соответственно, а окружность радиуса 3 с центром O_{2}
касается AD
и BC
в точках соответственно N
и L
.
Обозначим \angle O_{1}DK=\alpha
. Поскольку DO_{1}
и DO_{2}
— биссектрисы смежных углов,
\angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ},~\angle O_{2}DL=90^{\circ}-\angle O_{1}DK=90^{\circ}-\alpha,~\angle DO_{2}L=\alpha.
Из прямоугольных треугольников O_{1}DK
и O_{2}DL
находим, что
DK=O_{1}K\ctg\alpha=2\ctg\alpha,~DL=O_{2}K\tg\alpha=3\tg\alpha,
а так как LK=7
, то 2\ctg\alpha+3\tg\alpha=7
, откуда \tg\alpha=\frac{1}{3}
или \tg\alpha=2
.
Пусть \tg\alpha=\frac{1}{3}
. Тогда
DM=DK=2\ctg\alpha=2\cdot3=6,
DN=DL=3\tg\alpha=3\cdot\frac{1}{3}=1,~MN=DM-DN=6-1=5.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому AO_{1}
и AO_{2}
— биссектрисы равных углов CAD
и BAD
, значит, \angle O_{1}AM=\angle O_{2}AN
. Следовательно, прямоугольный треугольник O_{1}AM
подобен прямоугольному треугольнику O_{2}AN
, причём коэффициент подобия равен \frac{O_{1}M}{O_{2}N}=\frac{2}{3}
. Тогда
\frac{AM}{AM+MN}=\frac{2}{3},~\frac{AM}{AM+5}=\frac{2}{3},
откуда AM=10
. Следовательно, AD=AM+MD=10+6=16
.
Если же \tg\alpha=2
, то аналогично получаем
DM=DK=2\ctg\alpha=2\cdot\frac{1}{2}=1,
DN=DL=3\tg\alpha=3\cdot2=6,~MN=DM-DN=6-1=5,
\frac{AM}{AM-MN}=\frac{2}{3},~\frac{AM}{AM-5}=\frac{2}{3},
откуда AM\lt0
, что невозможно.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1967, билет 12, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 67-12-2, с. 124