4565. В полукруг радиуса R
с центром в точке O
вписан квадрат ABCD
так, что точки A
и D
лежат на диаметре, а точки B
и C
— на окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник OBC
.
Ответ. \frac{R(5-\sqrt{5})}{10}
.
Решение. Обозначим OA=x
. Тогда AB=AD=2x
. По теореме Пифагора OA^{2}+AB^{2}=OB^{2}
, или x^{2}+4x^{2}=R^{2}
, откуда x=\frac{R}{\sqrt{5}}
.
Пусть p
— полупериметр равнобедренного треугольника OBC
, S
— площадь, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot2x^{2}=x^{2}=\frac{2R^{2}}{5},~
p=OB+\frac{1}{2}BC=R+x=R+\frac{R}{\sqrt{5}}=\frac{R\left(1+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{2R^{2}}{5}}{\frac{R\left(1+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}}}=\frac{2R}{5+\sqrt{5}}=\frac{R(5-\sqrt{5})}{10}.