4566. Угол при основании равнобедренного треугольника равен \alpha
, а разность между радиусами описанной и вписанной окружности равна b
. Найдите сторону основания.
Ответ. \frac{2b\sin2\alpha}{1-\sin2\alpha\tg\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
радиуса r
вписана в равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
, AM
— высота треугольника, R
— радиус его описанной окружности, \angle ABC=\angle ACB=\alpha
, \angle BAC=180^{\circ}-2\alpha
, R-r=b
,
Обозначим BC=x
. Тогда BM=\frac{x}{2}
, По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle BAC}=\frac{x}{2\sin(180^{\circ}-2\alpha)}=\frac{x}{2\sin2\alpha}.
Поскольку AM
— биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, точка O
лежит на отрезке AM
, причём BO
— биссектриса угла ABM
, а OM=r
. Из прямоугольного треугольника BOM
находим, что
r=OM=BM\tg\angle OBM=\frac{x}{2}\tg\frac{\alpha}{2},
значит,
b=R-r=\frac{x}{2\sin2\alpha}-\frac{x}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{2}\left(\frac{1}{\sin2\alpha}-\tg\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{x(1-\tg\frac{\alpha}{2}\sin2\alpha)}{2\sin2\alpha}.
Следовательно,
BC=x=\frac{2b\sin2\alpha}{1-\tg\frac{\alpha}{2}\sin2\alpha}.