4568. В равнобедренном треугольнике ABC
высота BD
, опущенная на основание равна h
, радиус вписанной окружности равен r
. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ. \frac{(h-r)^{2}}{2(h-2r)}
.
Решение. Обозначим через \alpha
угол при основании равнобедренного треугольника ABC
. Высота равнобедренного треугольника является его медианой и биссектрисой, поэтому D
— середина основания AD
, а центр O
вписанной окружности лежит на отрезке BD
.
Из прямоугольных треугольников AOD
и ABD
находим, что
AD=\frac{OD}{\tg\angle OAD}=\frac{r}{\tg\frac{\alpha}{2}},~AD=\frac{BD}{\tg\angle BAD}=\frac{h}{\tg\alpha},
поэтому \frac{r}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{h}{\tg\alpha}
, а так как \tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
, то из полученного равенства находим, что \tg^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{h-2r}{h}
. Тогда
\sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{h(h-2r)}}{h-r}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle ABC}=\frac{AB}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{BD}{\sin\alpha}}{2\sin\alpha}=\frac{h}{2\sin^{2}\alpha}=\frac{h}{2\cdot\left(\frac{\sqrt{h(h-2r)}}{h-r}\right)^{2}}=\frac{(h-r)^{2}}{2(h-2r)}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1968, билет 4, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 68-4-1, с. 126