4570. Круг радиуса R
вписан в равнобедренную трапецию, площадь которой равна S
. Найдите основания трапеции.
Ответ. \frac{S\pm\sqrt{S^{2}-16R^{4}}}{2R}
.
Решение. Пусть AD=a
и BC=b
(a\gt b)
— основания трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=CD
, CH
— высота трапеции. Тогда
S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH=\frac{1}{2}(a+b)\cdot2R=(a+b)R,
откуда a+b=\frac{S}{R}
.
Поскольку в трапецию вписана окружность, AD+BC=AB+CD
, или a+b=2CD
, откуда CD=\frac{a+b}{2}=\frac{S}{2R}
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{S}{2R}\right)^{2}-(2R)^{2}}=\frac{\sqrt{S^{2}-16R^{4}}}{2R},
а так как DH=\frac{a-b}{2}
, то получаем систему уравнений
\syst{\frac{a+b}{2}=\frac{S}{2R}\\\frac{a-b}{2}=\frac{\sqrt{S^{2}-16R^{4}}}{2R},\\}
из которой находим, что
a=\frac{S+\sqrt{S^{2}-16R^{4}}}{2R},~b=\frac{S-\sqrt{S^{2}-16R^{4}}}{2R}.