4571. Окружность радиуса R
касается смежных сторон AB
и AD
квадрата ABCD
, пересекает сторону BC
в точке E
и проходит через точку C
. Найдите BE
.
Ответ. \frac{R(2-\sqrt{2})}{2}
.
Решение. Пусть M
— проекция центра O
окружности на сторону BC
, P
— точка касания окружности со стороной AD
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точка O
расположена на диагонали AC
квадрата. Тогда
\angle OAP=\angle OCM=45^{\circ},~BM=AP=OP=R,~OC=R,~CM=\frac{R}{\sqrt{2}},
а так как M
— середина CE
, то
ME=CM=\frac{R}{\sqrt{2}},~BE=BM-ME=R-\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{R(2-\sqrt{2})}{2}.