4574. В треугольнике ABC
биссектриса AD
делит сторону BC
в отношении BD:DC=2:1
. В каком отношении медиана CE
делит эту биссектрису?
Ответ. 3:1
, считая от вершины A
.
Решение. Пусть медиана CE
и биссектриса AD
пересекаются в точке M
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
и продолжим медиану CE
до пересечения с этой прямой в точке T
. Положим CD=a
, BD=2a
.
Из равенства треугольников AET
и BEC
следует, что AT=BC=3a
, а из подобия треугольников AMT
и DMC
— \frac{AM}{MD}=\frac{AT}{CD}=\frac{3a}{a}=3
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1968, билет 11, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 68-11-2, с. 129
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6.12, с. 47