4575. Диагональ BD
длины 8 является биссектрисой угла трапеции ABCD
. Найдите боковые стороны и площадь трапеции, если её основания: AD=5
, BC=4
.
Ответ. \frac{12}{\sqrt{5}}
, \frac{108}{5}
.
Решение. Предположим, что BD
— биссектриса угла ADC
трапеции. Тогда \angle CBD=\angle ADB=\angle CDB
, поэтому треугольник BCD
равнобедренный, BC=CD=4
. Тогда BC+CD=8=BD
, что невозможно. Аналогично, AC
не может быть биссектрисой угла BAD
.
Пусть BD
— биссектриса угла ABC
. Тогда AB=AD=5
. Обозначим \angle ADB=\angle CBD=\angle ABD=\alpha
. Из равнобедренного треугольника BAD
находим, что
\cos\alpha=\frac{\frac{BD}{2}}{AD}=\frac{4}{5}.
Тогда \sin\alpha=\frac{3}{5}
.
Пусть BH
— высота трапеции. Из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
BH=BD\sin\alpha=8\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{5+4}{2}\cdot\frac{24}{5}=\frac{108}{5}.
Пусть прямая, проведённая через вершину C
параллельно AB
, пересекает прямую AD
в точке E
. Тогда
DE=AD-AE=AD-BC=5-4=1,
\angle CED=\angle BAD=180^{\circ}-2\alpha,
\cos CED=-\cos2\alpha=\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}.
Из треугольника CED
по теореме косинусов находим, что
CD=\sqrt{CE^{2}+DE^{2}-2CE\cdot DE\cos\angle CED}=\sqrt{25+1+2\cdot5\cdot1\cdot\frac{7}{25}}=\frac{12}{\sqrt{5}}.
Если AC
— биссектриса угла BCD
, то площадь трапеции также равна \frac{108}{5}
и AB=\frac{12}{\sqrt{5}}
.