4586. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h
, а проекция одного из катетов на гипотенузу равна l
. Найдите радиус окружности, касающейся катетов, если центр окружности лежит на гипотенузе.
Ответ. \frac{h\sqrt{h^{2}+l^{2}}}{h+l}
.
Решение. Пусть CD=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная из вершины прямого угла C
, BD=l
— проекция катета BC
на гипотенузу AB
, O
— центр окружности, M
и N
— точки касания окружности с катетами AC
и BC
соответственно. Тогда
CD^{2}=BD\cdot AD,~AD=\frac{CD^{2}}{BD}=\frac{h^{2}}{l},~BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{h^{2}+l^{2}},
AC=\sqrt{AB\cdot AD}=\sqrt{\left(l+\frac{h^{2}}{l}\right)\frac{h^{2}}{l}}=\frac{h}{l}\sqrt{h^{2}+l^{2}}.
Пусть r
— радиус окружности. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AC\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r=\frac{1}{2}r(AC+BC)=
=\frac{1}{2}r\left(\frac{h}{l}\sqrt{h^{2}+l^{2}}+\sqrt{h^{2}+l^{2}}\right)=\frac{1}{2}r\sqrt{h^{2}+l^{2}}\left(\frac{h}{l}+1\right)=\frac{r\sqrt{h^{2}+l^{2}}(h+l)}{2l}.
С другой стороны,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{h}{l}\sqrt{h^{2}+l^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}+l^{2}}=\frac{h(h^{2}+l^{2})}{2l}.
Из уравнения
\frac{r\sqrt{h^{2}+l^{2}}(h+l)}{2l}=\frac{h(h^{2}+l^{2})}{2l}
находим, что
r=\frac{\frac{h(h^{2}+l^{2})}{2l}}{\frac{\sqrt{h^{2}+l^{2}}(h+l)}{2l}}=\frac{h\sqrt{h^{2}+l^{2}}}{h+l}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1963, билет 5, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 63-5-2, с. 99