4590. В прямоугольном треугольнике известны отрезки a
и b
, на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ. ab
.
Указание. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть S
— площадь прямоугольного треугольника с катетами x
и y
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр. Тогда p=a+b+r
. Поэтому
2S=xy=(a+r)(b+r)=ab+(a+b+r)r=ab+pr=ab+S.
Отсюда находим, что S=ab
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1963, билет 10, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 63-10-2, с. 101