4591. В острые углы прямоугольного треугольника вписаны два равные касающиеся друг друга круга. Сумма площадей этих кругов равна площади круга, вписанного в треугольник. Найдите углы треугольника.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть круги радиуса r
с центрами O_{1}
и O_{2}
вписаны в острые углы соответственно A
и B
прямоугольного треугольника ABC
(рис. 1), причём первый из кругов касается гипотенузы AB
в точке N
, катета AC
— в точке M
, а второй касается гипотенузы в точке K
, катета BC
— в точке L
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников AO_{1}N
и BO_{2}K
находим, что
AN=\frac{O_{1}N}{\tg\angle NAO_{1}}=\frac{r}{\tg\frac{\alpha}{2}},
KB=\frac{O_{2}K}{\tg\angle KBO_{2}}=\frac{r}{\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{r}{\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg\frac{\alpha}{2}}}=\frac{r(1+\tg\frac{\alpha}{2})}{1-\tg\frac{\alpha}{2}}.
Тогда
AB=AN+NK+KB=\frac{r}{\tg\frac{\alpha}{2}}+2r+\frac{r(1+\tg\frac{\alpha}{2})}{1-\tg\frac{\alpha}{2}}=r\left(\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}+2+\frac{1+\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg\frac{\alpha}{2}}\right)=
=\frac{r(1+2\tg\frac{\alpha}{2}-\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})}.
Пусть окружность радиуса R
с центром O
, вписанная в треугольник ABC
касается катета AC
в точке P
(рис. 2). Тогда
CP=R,~AP=\frac{OP}{\tg\angle OAP}=\frac{R}{\tg\frac{\alpha}{2}},~AC=AP+PC=\frac{R}{\tg\frac{\alpha}{2}}+R=\frac{R(1+\tg\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}},
а так как
AB=\frac{AC}{\cos\angle BAC}=\frac{AC}{\cos\alpha}=\frac{AC}{\frac{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{AC(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=\frac{R(1+\tg\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{R(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})},
то
\frac{r(1+2\tg\frac{\alpha}{2}-\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})}=\frac{R(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})}.
По условию задачи 2\pi r^{2}=\pi R^{2}
, поэтому R=r\sqrt{2}
, значит,
\frac{1+2\tg\frac{\alpha}{2}-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})}=\frac{\sqrt{2}(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{\tg\frac{\alpha}{2}(1-\tg\frac{\alpha}{2})},~1+2\tg\frac{\alpha}{2}-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2}(1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}),
(\sqrt{2}+1)\tg^{2}\frac{\alpha}{2}-2\tg\frac{\alpha}{2}+\sqrt{2}-1=0,~\tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2}-1,
\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{1-(\sqrt{2}-1)^{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=1.
Следовательно, \alpha=45^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1963, билет 11, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 63-11-4, с. 102