4593. В треугольнике ABC
угол A
равен \alpha
, AB=AC=b
. Через вершину B
и центр описанной около треугольника окружности проведена прямая до пересечения с прямой AC
в точке D
. Найдите BD
.
Ответ. \frac{b\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда
OA=OB,~\angle ABD=\angle OAB=\frac{\alpha}{2},
\angle ADB=180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAD=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\alpha=180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}.
Применив теорему синусов к треугольнику ABD
, получим, что
\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle ADB},~\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)}.
Следовательно,
BD=\frac{b\sin\alpha}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)}=\frac{b\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}.
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 62-1-2, с. 90; № 68-12-2, с. 129
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1962, билет 1, № 2; 1968, билет 12, № 2