4593. В треугольнике ABC
угол A
равен \alpha
, AB=AC=b
. Через вершину B
и центр описанной около треугольника окружности проведена прямая до пересечения с прямой AC
в точке D
. Найдите BD
.
Ответ. \frac{b\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда
OA=OB,~\angle ABD=\angle OAB=\frac{\alpha}{2},
\angle ADB=180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAD=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\alpha=180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}.
Применив теорему синусов к треугольнику ABD
, получим, что
\frac{BD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{\sin\angle ADB},~\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)}.
Следовательно,
BD=\frac{b\sin\alpha}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)}=\frac{b\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}.