4596. На отрезке длины 2R
как на диаметре построена полуокружность. В получившуюся фигуру вписана окружность радиуса \frac{R}{2}
. Найдите радиус окружности, касающейся построенных окружности, полуокружности и данного отрезка.
Ответ. \frac{R}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр полуокружности, построенной как на диаметре на отрезке AB
, O_{1}
— центр окружности радиуса \frac{R}{2}
, вписанной в полуокружность, O_{2}
— центр окружности искомого радиуса x
, вписанной в получившуюся фигуру, M
— точка касания этой окружности с отрезком AB
, K
— точка её касания с полуокружностью.
Окружность радиуса \frac{R}{2}
касается полуокружности и её диаметра, поэтому точка касания с диаметром совпадает с центром O
полуокружности, значит, OM
— отрезок общей касательной касающихся окружностей радиусов \frac{R}{2}
и x
. Следовательно (см. задачу 365),
OM=2\sqrt{\frac{R}{2}\cdot x}=\sqrt{2Rx}.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO_{2}=OK-O_{2}K=R-x.
В прямоугольном треугольнике OO_{2}M
известно, что
OO_{2}=R-x,~O_{2}M=x,~OM=\sqrt{2Rx}.
По теореме Пифагора
OO_{2}^{2}=OM^{2}+O_{2}M^{2},~(R-x)^{2}=2Rx+x^{2},
откуда x=\frac{R}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1962, билет 5, № 2.
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 62-5-2, с. 92