4599. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, основание равно 24. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда AM
— высота и биссектриса этого треугольника, значит, точка P
пересечения медиан и точка Q
пересечения биссектрис треугольника лежат на отрезке AM
, причём AP=\frac{2}{3}AM
, а так как BQ
— биссектриса треугольника ABM
, то
\frac{AQ}{QM}=\frac{AB}{BM}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3},
поэтому AQ=\frac{5}{8}AM
. Следовательно,
PQ=AP-AQ=\frac{2}{3}AM-\frac{5}{8}AM=\frac{1}{24}AM=
=\frac{1}{24}\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\frac{1}{24}\sqrt{400-144}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.