4602. Диаметр окружности радиуса r
является основанием правильного треугольника. Найдите ту часть площади треугольника, которая лежит вне круга.
Ответ. \frac{r^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{6}
.
Указание. Докажите, что указанная окружность проходит через середины двух сторон данного треугольника.
Решение. Пусть окружность с центром O
, построенная на стороне BC
равностороннего треугольника ABC
как на диаметре, пересекает его стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Тогда CM
— высота треугольника ABC
. Поэтому M
— середина AB
и треугольник MOB
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{1}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle MOB}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{(2r)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.
Аналогично,
S_{\triangle NOC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.
Поскольку \angle MON=60^{\circ}
, то площадь сектора MON
составляет шестую часть площади круга радиуса r
, т. е. S_{\mbox{сект.}}=\frac{\pi r^{2}}{6}
. Следовательно, искомая площадь равна
S_{\triangle ABC}-2S_{\triangle MOB}-S_{\mbox{сект.}}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi r^{2}}{6}=\frac{r^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{6}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 2, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-2-1, с. 82