4602. Диаметр окружности радиуса r
является основанием правильного треугольника. Найдите ту часть площади треугольника, которая лежит вне круга.
Ответ. \frac{r^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{6}
.
Указание. Докажите, что указанная окружность проходит через середины двух сторон данного треугольника.
Решение. Пусть окружность с центром O
, построенная на стороне BC
равностороннего треугольника ABC
как на диаметре, пересекает его стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Тогда CM
— высота треугольника ABC
. Поэтому M
— середина AB
и треугольник MOB
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{1}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle MOB}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{(2r)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.
Аналогично,
S_{\triangle NOC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.
Поскольку \angle MON=60^{\circ}
, то площадь сектора MON
составляет шестую часть площади круга радиуса r
, т. е. S_{\mbox{сект.}}=\frac{\pi r^{2}}{6}
. Следовательно, искомая площадь равна
S_{\triangle ABC}-2S_{\triangle MOB}-S_{\mbox{сект.}}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi r^{2}}{6}=\frac{r^{2}(3\sqrt{3}-\pi)}{6}.