4604. Две окружности радиусов r
и 3r
внешне касаются. Найдите площадь фигуры, заключённой между окружностями и общей к ним внешней касательной.
Ответ. \left(4\sqrt{3}-\frac{11}{6}\pi\right)r^{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов r
и 3r
соответственно, M
— точка касания окружностей, AB
— общая внешняя касательная этих окружностей (точка A
лежит на первой окружности, B
— на второй).
Опустим перпендикуляр O_{1}F
из центра первой окружности на радиус O_{2}B
второй окружности. В прямоугольном треугольнике O_{1}O_{2}F
известно, что
O_{1}O_{2}=O_{1}M+O_{2}M=r+3r=4r,~O_{2}F=O_{2}B-BF=O_{2}F-O_{1}A=3r-r=2r,
поэтому
\angle FO_{2}O_{1}=60^{\circ},~\angle AO_{1}O_{2}=120^{\circ},~AB=O_{1}F=2r\sqrt{3}.
Пусть S
— площадь искомой фигуры (криволинейного треугольника AMB
), S_{1}
и S_{2}
— площади секторов AO_{1}M
и BO_{2}M
, S_{3}
— площадь прямоугольной трапеции ABO_{2}O_{1}
. Тогда
S_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2},~S_{2}=\frac{1}{6}\pi(3r)^{2}=\frac{3}{2}\pi r^{2},~S_{3}=\frac{1}{2}(r+3r)\cdot2r\sqrt{3}=4r^{2}\sqrt{3}.
Следовательно,
S=S_{3}-S_{2}-S_{1}=4r^{2}\sqrt{3}-\frac{3}{2}\pi r^{2}-\frac{1}{3}\pi r^{2}=\left(4\sqrt{3}-\frac{11}{6}\pi\right)r^{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 4, № 2
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 61-4-2, с. 83