4606. Равнобедренный треугольник рассечён биссектрисой угла при основании на два треугольника: площадь первого (прилежащего к основанию) 6\frac{6}{11}
, площадь второго — 5\frac{5}{11}
. Найдите стороны равнобедренного треугольника.
Ответ. 6, 5, 5.
Решение. Пусть BD
— биссектриса равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
, S_{\triangle BCD}=6\frac{6}{11}
, S_{\triangle BAD}=5\frac{5}{11}
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BAD}=6\frac{6}{11}+5\frac{5}{11}=\frac{72}{11}+\frac{60}{11}=\frac{132}{11}=12.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{\frac{60}{11}}{\frac{72}{11}}=\frac{5}{6}.
Положим AB=AC=5x
, BC=6x
. Пусть E
— середина основания BC
. Тогда AE
— высота треугольника ABC
. По теореме Пифагора
AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=4x,
поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}\cdot6x\cdot4x=12x=12,
откуда x=1
. Следовательно, AB=AC=5x=5
, BC=6x=6
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 8, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-8-3, с. 85