4607. Основания трапеции равны 10 и 24. Боковые стороны — 13 и 15. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 204.
Указание. Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную боковой стороне.
Решение. Через вершину C
трапеции ABCD
(BC=10
, AD=24
, AB=13
, CD=15
) проведём прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке K
.
В треугольнике CKD
CK=13,~CD=15,~KD=AD-BC=14.
По формуле Герона
S_{\triangle CKD}=\sqrt{21\cdot7\cdot6\cdot8}=7\cdot3\cdot4=84.
Если CM
— высота этого треугольника, то
CM=\frac{2S_{\triangle CKD}}{KD}=\frac{2\cdot84}{14}=12.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CM=17\cdot12=204.
Примечание. Другие способы нахождения высоты CM
треугольника CKD
.
а) Обозначим DM=x
и найдём x
из уравнения
CD^{2}-DM^{2}=CK^{2}-KM^{2},~\mbox{или}~225^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}.
Затем найдём CM
по теореме Пифагора из треугольника CMD
.
б) Найдём косинус угла CDK
по теореме косинусов из треугольника CDK
. Затем вычислим его синус и найдём CM
из прямоугольного треугольника CMD