4608. Даны две окружности радиусов R
и r
(R\gt r
), имеющие внутреннее касание. Найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра.
Ответ. \frac{4Rr(R-r)}{(R+r)^{2}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса R
, O_{1}
— центр окружности радиуса r
, A
— точка их касания, AB
— их общий диаметр, O_{2}
— центр окружности искомого радиуса x
, C
— точка касания окружностей с центрами O
и O_{2}
, D
— точка касания окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, M
точка касания с диаметром AB
окружности с центром O_{2}
.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO_{1}=OA-O_{1}A=R-r,~OO_{2}=OC-O_{2}C=R-x,~O_{1}O_{2}=O_{1}D+O_{2}D=r+x.
Выразим площадь треугольника OO_{1}O_{2}
по формуле Герона. Пусть p
— полупериметр треугольника, тогда
p=\frac{(R-r)+(R-x)+(r+x)}{2}=R,~S_{\triangle OO_{1}O_{2}}=\sqrt{Rrx(R-x-r)}.
С другой стороны,
S_{\triangle OO_{1}O_{2}}=\frac{1}{2}OO_{1}\cdot O_{2}M=\frac{1}{2}(R-r)x.
Из уравнения \sqrt{Rrx(R-x-r)}=\frac{1}{2}(R-r)x
находим, что x=\frac{4Rr(R-r)}{(R+r)^{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 11, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-11-3, с. 87