4609. Найдите углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.
Ответ. \arccos\frac{2}{3}
, \arccos\frac{2}{3}
, \pi-2\arccos\frac{2}{3}
.
Указание. Если угол при основании равнобедренного треугольника равен \alpha
, то высота, проведённая к боковой стороне, образует с основанием угол 90^{\circ}-\alpha
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
(AC=BC
), H
— точка пересечения высот, \angle CAB=\angle CBA=\alpha
, K
— середина AB
. Тогда
OK=AK\tg\frac{\alpha}{2},~HK=AK\tg(90^{\circ}-\alpha)=AK\ctg\alpha.
Поскольку HK=2OK
, то 2\tg\frac{\alpha}{2}=\ctg\alpha
.
Пусть \tg\frac{\alpha}{2}=t
. Тогда полученное уравнение имеет вид
2t=\frac{1-t^{2}}{2t}.
Отсюда находим, что t^{2}=\frac{1}{5}
. Следовательно,
\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 12, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-12-4, с. 87