4610. Через вершину A
правильного треугольника ABC
под углом \alpha
(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{3}
) к AC
проведена прямая, пересекающая BC
в точке D
. Найдите отношение площади треугольника ADC
к площади треугольника ABC
.
Ответ. \frac{\sin\alpha}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}
.
Решение. Обозначим BC=AB=AC=a
. Применив теорему синусов к треугольнику ADC
, получим, что
\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{AC}{\sin\angle ADC},~\frac{CD}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}-\alpha\right)},~\frac{CD}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)},
откуда CD=\frac{a\sin\alpha}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CD}{BC}=\frac{\frac{a\sin\alpha}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}}{a}=\frac{\sin\alpha}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 13, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-13-1, с. 87