4611. Один из катетов прямоугольного треугольника равен b
, радиус описанной около этого треугольника окружности равен R
. Найдите биссектрису угла, заключённого между данным катетом и гипотенузой.
Ответ. \frac{2b\sqrt{R}}{\sqrt{2R+b}}
.
Решение. Пусть AM
— биссектриса прямоугольного треугольника ABC
, в котором \angle ACB=90^{\circ}
, катет AC=b
, а радиус описанной окружности равен R
. Тогда гипотенуза AB=2R
. По теореме Пифагора
BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4R^{2}-b^{2}}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CM}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{2R},
поэтому
CM=BC\cdot\frac{AC}{AC+AB}=\sqrt{4R^{2}-b^{2}}\cdot\frac{b}{b+2R}=\frac{b\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{b+2R}.
Из прямоугольного треугольника ACM
находим, что
AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}=b^{2}+\frac{b^{2}(4R^{2}-b^{2})}{(b+2R)^{2}}=\frac{4b^{2}R(2R+b)}{(2R+b)^{2}}.
Следовательно, AM=\frac{2b\sqrt{R}}{\sqrt{2R+b}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1961, билет 14, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 61-14-4, с. 88