4613. Основание треугольника равно a
, а высота, опущенная на основание, равна h
. В треугольник вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника, а две вершины на боковых сторонах. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.
Ответ. \frac{2ah}{(a+h)^{2}}
.
Решение. Пусть вершины K
и L
квадрата KLMN
со стороной x
лежат на стороне BC=a
треугольника ABC
, вершины M
и N
— на сторонах AC
и AB
соответственно, Q
— точка пересечения высоты AP=h
треугольника со стороной MN
квадрата. Тогда AQ=AP-PQ=AP-ML=h-x
.
Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AQ}{AP}=\frac{h-x}{h}
, поэтому MN=BC\cdot\frac{AQ}{AP}
, или x=a\cdot\frac{h-x}{h}
, откуда x=\frac{ah}{a+h}
. Следовательно,
\frac{S_{KLMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}ah}=\frac{\left(\frac{ah}{a+h}\right)^{2}}{\frac{1}{2}ah}=\frac{2ah}{(a+h)^{2}}.