4614. В треугольнике ABC
известно, что AB=a
, AC=b
, \angle BAC=120^{\circ}
. Найдите биссектрису AM
.
Ответ. \frac{ab}{a+b}
.
Указание. Сложите площади треугольников, на которые биссектриса делит данный треугольник.
Решение. Поскольку S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ACM}
, то
\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AB\cdot AM\sin\angle BAM+\frac{1}{2}AM\cdot AC\sin\angle CAM,
или
\frac{1}{2}ab\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}a\cdot AM\sin60^{\circ}+\frac{1}{2}b\cdot AM\sin60^{\circ},
\frac{1}{2}ab\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}a\cdot AM\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}b\cdot AM\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},~ab=AM(a+b).
Следовательно, AM=\frac{ab}{a+b}
.
Примечание. Верно и обратное, если биссектриса AM
треугольника такова, что AM=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}
, то \angle BAC=120^{\circ}
(см. задачу 13122).