4615. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус описанной около треугольника окружности равен R
, а радиус вписанной в него окружности равен r
. При каком отношении \frac{R}{r}
задача имеет решение?
Ответ. r+R\pm\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}
, \frac{R}{r}\geqslant1+\sqrt{2}
.
Решение. Пусть окружность с центром O
, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
, касается гипотенузы AB=2R
в точке K
, а катетов AC
и BC
— в точках M
и L
соответственно. Обозначим AC=x
.
Четырёхугольник OMCL
— квадрат, поэтому
CM=OL=r,~AK=AM=AC-CM=x-r,
BL=BK=AB-AK=2R-(x-r)=2R+r-x,
BC=BL+CL=2R+r-x+r=2(R+r)-x.
По теореме Пифагора AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}
, или
4R^{2}=x^{2}+(2(R+r)-x)^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}-2x(R+r)+4Rr+2r^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x=r+R\pm\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}.
Таким образом, либо AC=r+R+\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}
и BC=r+R-\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}
, либо AC=r+R-\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}
и BC=r+R+\sqrt{R^{2}-2rR-r^{2}}
.
Задача имеет решение, если R^{2}-2rR-r^{2}\geqslant0
, или \left(\frac{R}{r}\right)^{2}-2\cdot\frac{R}{r}-1\geqslant0
, откуда \frac{R}{r}\geqslant1+\sqrt{2}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1960, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 60-2-3, с. 77