4616. На гипотенузе BC
прямоугольного треугольника ABC
расположена точка D
так, что AD\perp BC
. Найдите гипотенузу BC
, если известно, что AD=DC-BD=h
.
Ответ. h\sqrt{5}
.
Решение. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, AD^{2}=CD\cdot BD
. Обозначим CD=x
, BD=y
. Из системы
\syst{xy=h^{2}\\x-y=h\\}
находим, что x=\frac{h(1+\sqrt{5})}{2}
, y=\frac{h(\sqrt{5}-1)}{2}
. Следовательно,
BC=x+y=\frac{h(1+\sqrt{5})}{2}+\frac{h(\sqrt{5}-1)}{2}=h\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1960, билет 3, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 60-3-1, с. 78