4617. Около окружности описана трапеция с боковыми сторонами a
и b
. Найдите сумму квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции.
Ответ. a^{2}+b^{2}
.
Решение. Пусть боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
равны a
и b
соответственно, O
— центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
\angle BAO+\angle ABO=\frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}ABC=\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ABC)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ},
значит, \angle AOB=90^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}=a^{2}.
Аналогично, OC^{2}+OD^{2}=b^{2}
. Следовательно,
OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}=a^{2}+b^{2}.