4620. Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.
Решение. Пусть данные окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точке A
, окружности с центрами O_{2}
и O_{3}
— в точке B
, окружности с центрами O_{1}
и O_{3}
— в точке C
, а M
— общая точка трёх окружностей.
Стороны четырёхугольника O_{1}MO_{2}A
равны как радиусы равных окружностей, поэтому O_{1}MO_{2}A
— ромб. Аналогично, O_{1}MO_{3}C
— ромб, значит, AO_{2}=O_{1}M=CO_{3}
и AO_{2}\parallel CO_{3}
, поэтому четырёхугольник AO_{2}O_{3}C
— параллелограмм. Следовательно, AC=O_{2}O_{3}
. Аналогично докажем, что BC=O_{1}O_{2}
и AB=O_{1}O_{3}
. Таким образом, треугольник ABC
равен треугольнику O_{3}O_{1}O_{2}
по трём сторонам.