4621. Три равные окружности радиуса R
пересекаются в точке M
. Пусть A
, B
и C
— три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что:
а) радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
;
б) M
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
равен треугольнику с вершинами в центрах данных окружностей.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры описанных окружностей треугольников AMC
, AMB
, BMC
соответственно.
Первый способ. а) Поскольку O_{1}MO_{2}A
, O_{2}MO_{3}B
и O_{3}CO_{1}M
— ромбы, то \overrightarrow{CO_{3}}=\overrightarrow{O_{1}M}
и \overrightarrow{O_{3}B}=\overrightarrow{MO_{2}}
, поэтому
\overrightarrow{O_{1}O_{2}}=\overrightarrow{O_{1}M}+\overrightarrow{MO_{2}}=\overrightarrow{CO_{3}}+\overrightarrow{O_{3}B}=\overrightarrow{CB}.
Аналогично,
\overrightarrow{O_{2}O_{3}}=\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{O_{1}O_{3}}=\overrightarrow{AB}.
Следовательно, треугольник ABC
равен треугольнику O_{3}O_{1}O_{2}
, а так как радиус описанной окружности треугольника O_{3}O_{1}O_{2}
равен R
, то радиус описанной окружности треугольника ABC
также равен R
.
б) AM\perp O_{1}O_{2}
, поэтому AM\perp BC
. Аналогично, BM\perp AC
, а CM\perp AB
.
Второй способ. а) Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон O_{1}O_{2}
, O_{2}O_{3}
и O_{1}O_{3}
треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
. Радиус описанной окружности треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
равен R
, а треугольник B_{1}C_{1}A_{1}
подобен ему с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому радиус описанной окружности треугольника B_{1}C_{1}A_{1}
равен \frac{1}{2}R
.
Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины отрезков MA
, MB
и MC
, поэтому радиус описанной окружности треугольника ABC
вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, т. е. равен R
.
б) (Для случая остроугольного треугольника.) Углы ABM
и ACM
опираются на одну и ту же хорду AM
. Поскольку радиус окружности, проходящей через точки A
, B
и M
, равен радиусу окружности, проходящей через точки A
, C
и M
, то \angle ABM=\angle ACM=\alpha
. Аналогично, \angle BAM=\angle BCM=\beta
и \angle CAM=\angle CBM=\gamma
.
Сумма углов треугольника ABC
равна 2(\alpha+\beta+\gamma)=180^{\circ}
, поэтому \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
Пусть K
— точка пересечения прямых BM
и AC
. Тогда
\angle BKC=180^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma=90^{\circ}.
Следовательно, высота BK
треугольника ABC
проходит через точку M
. Аналогично для остальных высот.