4622. Даны три равных окружности, пересекающихся в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Докажите, что полученные три прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть данные окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точке A
, окружности с центрами O_{2}
и O_{3}
— в точке B
, окружности с центрами O_{1}
и O_{3}
— в точке C
, а M
— общая точка трёх окружностей.
Стороны четырёхугольника O_{1}MO_{2}A
равны как радиусы равных окружностей, поэтому O_{1}MO_{2}A
— ромб. Аналогично, O_{1}MO_{3}C
— ромб, значит, AO_{2}=O_{1}M=CO_{3}
и AO_{2}\parallel CO_{3}
. Следовательно, четырёхугольник AO_{2}O_{3}C
— параллелограмм. Диагональ AO_{3}
этого параллелограмма проходит через середину диагонали CO_{2}
. Аналогично докажем, что отрезок BO_{1}
также проходит через середину отрезка CO_{2}
. Следовательно, прямые AO_{3}
, BO_{1}
и CO_{2}
пересекаются в одной точке.