4624. В треугольник ABC
вписана окружность, касающаяся стороны AB
в точке D
и стороны BC
в точке E
. Найдите углы треугольника, если \frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}
и \frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}
.
Ответ. 90^{\circ}
, \arccos\frac{4}{5}
, \arcsin\frac{4}{5}
.
Решение. Пусть F
— точка касания окружности со стороной AC
. Обозначим BD=x
, тогда AD=2x
, а так как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то BE=BD=x
и AF=AD=2x
. Кроме того, по условию задачи EC=3BE=3x
, поэтому
AB=AD+DB=2x+x=3x,~BC=BE+EC=x+3x=4x,~AC=AF+FC=2x+3x=5x.
Тогда
AC^{2}=25x^{2}=9x^{2}+16x^{2}=AB^{2}+BC^{2},
значит, треугольник ABC
— прямоугольный,
\angle ABC=90^{\circ},~\cos\angle ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5},~\sin\angle BAC=\cos\angle ACB=\frac{4}{5}.