4629. В окружность радиуса 3 вписана равнобедренная трапеция с углом 45^{\circ}
при основании и высотой \sqrt{2}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 4\sqrt{2}
.
Решение. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями BC
и AD
(BC\lt AD
), CH=\sqrt{2}
— её высота, \angle ADC=45^{\circ}
, R=3
— радиус окружности.
По теореме синусов
AC=2R\sin\angle ADC=6\sin45^{\circ}=3\sqrt{2}.
По теореме Пифагора
AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{18-2}=4.
Проекция AH
диагонали AC
равнобедренной трапеции на основание AD
равна полусумме оснований, следовательно,
S_{ABCD}=AH\cdot CH=4\sqrt{2}.