4642. Высота равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
равна 4\sqrt{3}
, диагонали трапеции пересекаются в точке O
, \angle AOD=120^{\circ}
. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ. 12.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна полусумме оснований.
Решение. Диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с основанием, поэтому
\angle OAD=\angle ODA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-120^{\circ})=30^{\circ}.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на AD
. Тогда AH=\frac{1}{2}(AD+BC)
, т. е. отрезок AH
равен средней линии трапеции. Из прямоугольного треугольника ACH
находим, что
AH=CH\ctg\angle CAH=CH\ctg30^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12.
Следовательно, средняя линия трапеции ABCD
равна 12.