4647. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 10 и 8. Диагональ трапеции, проведённая из вершины острого угла, делит этот угол пополам. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 104.
Решение. Пусть острый угол при вершине D
прямоугольной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
делится диагональю BD
пополам, причём AB=8
и CD=10
. Треугольник BCD
— равнобедренный, так как \angle CBD=\angle BDA=\angle CDB
, поэтому BC=CD=10
.
Опустим высоту CH
на основание AD
. Поскольку ABCH
— прямоугольник, CH=AB=8
и AH=BC=10
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6,
поэтому AD=AH+DH=10+6=16
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH=\frac{1}{2}(16+10)\cdot8=13\cdot8=104.