4648. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 6 и 6,25. Диагональ трапеции, проведённая из вершины острого угла, является его биссектрисой. Найдите эту диагональ и площадь трапеции.
Ответ. 10; 42,75.
Решение. Пусть острый угол при вершине D
прямоугольной трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=6
и CD=6{,}25
делится диагональю BD
пополам. Треугольник BCD
— равнобедренный, так как \angle CBD=\angle BDA=\angle CDB
, поэтому BC=CD=6{,}25=\frac{25}{4}
.
Опустим высоту CH
на основание AD
. Поскольку ABCH
— прямоугольник, CH=AB=6
и AH=BC=\frac{25}{4}
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{25}{4}\right)^{2}-6^{2}}=\sqrt{\left(\frac{25}{4}-6\right)\left(\frac{25}{4}+6\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{49}{4}}=\frac{7}{4},
Поэтому AD=AH+DH=\frac{25}{4}+\frac{7}{4}=8
. Следовательно,
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{64+36}=10,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH=\frac{1}{2}\left(8+\frac{25}{4}\right)\cdot6=\left(8+\frac{25}{4}\right)\cdot3=\frac{171}{4}=42{,}75.