4652. Основания трапеции равны 1 и 7, а диагонали — 6 и 10. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 24.
Указание. Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.
Решение. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
(BC=1
, AD=7
, AC=6
, BD=10
) проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с прямой AD
в точке K
. В треугольнике ACK
известно, что
AC=9,~CK=BD=10,~AK=AD+DK=AD+BC=7+1=8.
Поскольку CK^{2}=AC^{2}+AD^{2}
, треугольник ACK
— прямоугольный. Его площадь равна половине произведения катетов, т. е.
S_{\triangle ACK}=\frac{1}{2}AC\cdot AK=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24.
Площадь трапеции ABCD
равна площади этого треугольника, так как равновелики треугольники ABC
и CDK
(BC=DK
, а высоты, опущенные на эти стороны, равны высоте трапеции).